Silvia Jonas és professora de filosofia a la Universitat de Bamberg, membre externa del Centre de Filosofia Matemàtica de Múnic i membre associada del Centre de Filosofia de les Matemàtiques de Konstanz. També forma part del patronat de la Martin Buber Society of Fellows i és assessora de confiança de l’Ernst Ludwig Ehrlich Studienwerk. Ha publicat el llibre Ineffability and its Metaphysics. The Unspeakable in Art, Religion, and Philosophy (2016).

Entrevista sobre el descobriment o la invenció de les matemàtiques

Robert Lawrence Kuhn: Silvia, com a filòsofa de les matemàtiques, com afrontes la pregunta perenne de si les matemàtiques es descobreixen o s’inventen.

Silvia Jonas: Em sembla que hi responc com tothom dins la filosofia de les matemàtiques. Poso en balança els arguments a favor i en contra de les diferents posicions. Però he de dir que trobo molt més convincents els arguments que existeixen a favor del platonisme matemàtic que no pas els del nominalisme.

R. L. K.: Quins són els arguments de tots dos costats?

S. J.: Doncs bé, els arguments típics a favor del platonisme matemàtic, la visió segons la qual els objectes matemàtics realment existeixen, són que, en primer lloc, té una mena d’avantatge semàntic: ens permet explicar què fa que enunciats corrents com “aquesta faldilla és vermella” siguin vertaders i també un enunciat com “2 més 2 és igual a 4”. El que els fa vertaders és que els objectes als quals es refereixen existeixen. Aquest és un avantatge semàntic. Un altre avantatge del platonisme és que ens permet explicar l’eficàcia miraculosa, gairebé miraculosa, de les matemàtiques dins les ciències naturals.
I penso que aquesta és probablement la raó per la qual la majoria de les persones que tenen aquesta inclinació se senten atretes pel platonisme: aquest vincle molt estret amb les ciències naturals.

R. L. K.: I a l’altra banda, al costat nominalista?

S. J.: Em sembla que l’argument més fort contra el platonisme és un argument contra la necessitat de les matemàtiques per a les ciències naturals. Per exemple, Hartry Field va escriure un llibre el 1980 titulat Science Without Numbers (‘La ciència sense nombres’), on mostrava que es podia expressar la teoria gravitacional newtoniana sense utilitzar matemàtiques, sense fer referència a objectes matemàtics.

R. L. K.: Que les matemàtiques serien més un model del món que no pas una realitat del món.

S. J.: Exactament. O potser una eina per fer més econòmica, més elegant, l’expressió de les teories científiques, però no pas un llenguatge descriptiu que faci referència a objectes realment existents.

R. L. K.: I altres arguments contra el platonisme? Arguments lingüístics?

S. J.: Bé, hi ha un argument epistemològic contra el platonisme matemàtic que consisteix en el problema d’explicar l’accés epistèmic a aquests objectes. Si existeixen objectes matemàtics, com és que en sabem coses, si no els percebem amb cap dels nostres cinc sentits? Trobar una resposta a aquesta pregunta és, potser, un dels problemes més urgents per als platonistes matemàtics. Però penso que es pot donar una resposta a aquesta pregunta, tot i que això implicaria adoptar una forma molt particular de platonisme matemàtic, que és la forma pluralista. El que de vegades s’anomena “platonisme en estat pur” (full-blooded Platonism).

R. L. K.: Aleshores, hi ha diferents nivells de platonisme?

S. J.: Sí. Hi ha platonistes que creuen que hi ha exactament un univers matemàtic, cosa que implica que per a cada enunciat matemàtic hi ha exactament una única resposta veritable o falsa. I aquesta és una mena de visió estàndard de les matemàtiques, que fa molt de temps que existeix. Però en els darrers 10 o 15 anys ha anat guanyant força la idea que el cosmos matemàtic comprèn, de fet, un multivers d’universos matemàtics. I aquesta visió s’està fent cada cop més popular.

I segons aquesta visió, el problema de l’accés epistèmic rep una resposta força directa. La resposta és: tenim accés epistèmic als objectes o a les teories matemàtiques pel fet d’entendre que aquestes teories són consistents. Per entendre la consistència d’una teoria, no cal tenir accés a l’objecte de què tracta; n’hi ha prou amb entendre la consistència escrita sobre el paper, per dir-ho així.

R. L. K.: I el multivers d’universos matemàtics requereix que cadascun sigui internament consistent per ser legítim.

S.J.: Exactament. La manera com funciona, i la raó per la qual no resulta ser internament inconsistent, és que sempre contemples un univers a la vegada. I dins del llenguatge matemàtic no tens manera de quantificar sobre la totalitat de l’univers matemàtic. I d’això tracta la qüestió.

El principal defensor d’aquesta visió, Joel Hamkins, té un argument que trobo força convincent. És que hi ha certes qüestions en matemàtiques que han estat irresolubles o indecidides durant molt de temps. El cas més famós és la hipòtesi del continu, que afirma que els nombres reals són la segona infinitud més gran després dels nombres naturals. Ha estat un dels problemes oberts més importants en matemàtiques, i encara no té cap solució clàssica. Però hi ha hagut molt de progrés en teoria de conjunts, i ara podem construir universos conjunts teòrics en què la hipòtesi del continu es compleix, i d’altres en què és falsa. I Hamkins argumenta: bé, va com va. Aquí tens la teva resposta a la hipòtesi del continu. I trobo aquesta resposta molt convincent.

R. L. K.: Ara bé, alguns utilitzen la multiplicitat d’universos matemàtics per qüestionar la importància del poder —irrealista— de les matemàtiques en la ciència, perquè hi ha tants objectes i maneres de pensar matemàtiques que només en seleccionem unes quantes que ens permeten entendre la ciència. De manera que no és que les matemàtiques estiguin tan absolutament lligades a l’explicació científica, sinó que, en aquest vast nombre transfinit d’universos matemàtics, alguns serveixen i d’altres no, i escollim els que serveixen. Això debilita aquell argument.

S.J.: Exactement. Té implicacions per a l’argument de la indispensabilitat que té el pluralisme matemàtic. Deixa’m esbossar-ne breument l’estructura: la idea és argumentar que si podem mostrar que les matemàtiques no només funcionen com una eina que facilita la formulació de les teories científiques, sinó que realment aporten una part sui generis a l’explicació científica, aleshores tindríem una raó molt poderosa per creure que les matemàtiques existeixen. O que les parts matemàtiques d’una teoria fan referència a alguna cosa que existeix realment.

R. L. K.: I fins a quin punt estàs convençuda del teu platonisme matemàtic?

S.J.: Força convençuda, diria.

R. L. K.: Així doncs, en una escala de l’1 al 100, on situaries aquest “força convençuda”?

S.J.: 87.

També podeu veure l’entrevista original amb anglès de Closer to Truth: